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mass-action law에 대해


 

열평형 상태의 반도체에서 전자와 홀의 농도에 관한 다음의 관계식을 mass-action law라고 부른다.

 

$$ n_0 p_0 = n_i^2 $$

 

책에 따라서 단체-행동 법칙 또는 질량-작용 법칙이라고 번역되는데 단체-행동 법칙이 좀 더 자연스러워 보인다.

 

 

예를 들어, intrinsic Si의 전자의 농도를 $ n_i = 1.5 × 10^{10} /cm^3 $으로 하고, 300 K에서 전자의 농도를 $ n_0 = 1 × 10^{16} /cm^3 $이라고 하면, 이 때 홀의 농도는

 

$$ p_0 = {n_i^2 \over n_0} = {(1.5 \times 10^{10})^2 \over {1 \times 10^{16}}} = 2.25 \times 10^4 /cm^3 $$

 

이 된다.

 

이 mass-action law를 통해 얻을 수 있는 전자와 홀의 농도 관계를 이해하기 위해서

우선 이 mass-action law는 볼츠만(Boltzmann) 근사를 통해 유도한 것임을 알아야 한다. (볼츠만 근사는 입자간의 구별이 가능할 정도로 농도가 낮고, 허용된 에너지 준위에 대한 입자 분포에 제한이 없는 경우 적용할 수 있다.)

 

불순물이 주입된 반도체에서, 볼츠만 근사를 통해 얻은 전자와 홀의 농도는 다음과 같다.

 

$$ n_0 = N_c exp[{-(E_c - E_F) \over kT}] = n_i exp[{(E_F - E_i) \over kT}] $$

 

$$ p_0 = N_v exp[{-(E_F - E_v) \over kT}] = n_i exp[{-(E_F - E_i) \over kT}] $$

 

 

도너 또는 억셉터 불순물을 주입하면 도너 에너지 레벨($ E_d $) 또는 억셉터 에너지 레벨($ E_a $)에 추가적인 전자나 홀이 생성되는데, 결국 가능한 에너지 상태에 존재하는 전자와 홀의 재분포가 발생한다.

 

도너 불순물이 첨가되어 추가적인 전자가 형성될 때, 전자의 재분포

 

결과적으로 전자와 홀의 주입은 분포 함수와 페르미 레벨($ E_F $)을 변화시키고, 위의 수식에 따라 $ n_0 $와 $ p_0 $가 변화하게 된다.

 

페르미 레벨이 밴드갭 중앙에 있을 때 (a) (전자) 에너지에 따른 상태 밀도 함수와 페르미-디락 확률 분포 함수.
(b) 전도대(Conduction band)와 가전자대(Valence band)에서 (전자) 에너지에 따른 전자 밀도.

 

페르미 레벨이 전도대에 가까울 때 (c) (전자) 에너지에 따른 상태 밀도 함수와 페르미-디락 확률 분포 함수.
(d) 전도대(Conduction band)와 가전자대(Valence band)에서 (전자) 에너지에 따른 전자 밀도.

 

페르미 레벨이 가전자대에 가까울 때 (e) (전자) 에너지에 따른 상태 밀도 함수와 페르미-디락 확률 분포 함수.
(f) 전도대(Conduction band)와 가전자대(Valence band)에서 (전자) 에너지에 따른 전자 밀도.

 

즉, 전자나 홀의 주입에 의해 분포 함수, 페르미 레벨이 변화하면, 맥스웰-볼츠만 근사에 의해 전자의 농도는 지수적으로 증가하고, 홀의 농도는 지수적으로 감소하기 때문에 전자와 홀의 농도의 곱($ n_0p_0 $)이 일정하게 유지된다.

 

다른 설명으로써, 전자-홀의 재결합(Recombination)과 생성(Generation)에 대해 생각해보면

일정한 온도에서 단위 부피당 단위 시간당 전자-홀 쌍이 생성되는 비율(Generation rate, $ /cm^3s $)은 일정하다. (정확히는 온도($ T $)와 에너지 밴드갭($ E_g $)의 함수이다.)

 

 

또한 단위 부피당 단위 시간당 전자-홀 쌍이 재결합하는 비율(Recombination rate, $ /cm^3s $)은 전자의 농도와 홀의 농도와 비례하는데, 결과적으로 아래와 같이 전자의 농도와 홀의 농도를 곱한 값에 비례한다. 

 

$$ R = rn_0p_0 $$

 

평형 상태에서 재결합 비율($ R $)은 생성되는 비율($ G $)과 항상 같아야 하므로 재결합 비율은 일정하고,

따라서 전자의 농도와 홀의 농도의 곱도 항상 일정하게 유지되어야 한다.